Question

阅读并解决问题：在给定的锐角△ABC中，作一个正方形DEFG，使点D、E落在BC上，点F、G分别落在AC、AB上，

阅读并解决问题：在给定的锐角△ABC中，作一个正方形DEFG，使点D、E落在BC上，点F、G分别落在AC、AB上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′（如图）；第二步：连结BF′并延长交AC于F；第三步：过F点作FE⊥BC交BC于E；第四步：过F点作FG∥BC交AB于G；第五步：过G点作GD⊥BC于D，则四边形DEFG就是所求作的正方形．（1）证明上述所作的四边形是正方形；（2）在△ABC中，如果BC=6+3，∠ABC=45°，∠BAC=75°，求正方形DEFG的边长．

Answer 1

证明：（1）∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴∠FED=∠EDG=90°，EF∥GD，
∵FG∥BC，
∴四边形DEFG是矩形，
∵四边形D′E′F′G′是正方形，
∴E′F′=F′G′，F′G′∥BC，

F′G′

FG

=

BF′

BF

=

E′F′

EF

，
∴FG=EF，
∴四边形DEFG为正方形；
（2）如图，

∵四边形DEFG为正方形，
∴FG∥BC，
设正方形DEFG的边长为x，
∵∠ABC=45°，
∴BD=DG=x，
∵∠BAC=75°，
∴∠C=180°-45°-75°=60°，
∴EC=

x

3

=

3

3

x，
∵DE=x，
∵BC=6+

3

，
∴BD+DE+EC=6+

3

，即x+x+

3

3

x=6+

3

，
解得：x=3，
∴正方形DEFG的边长为3．