Question

已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a在区间[-2，2]上的最大值为20，则最小值为______

已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a在区间[-2，2]上的最大值为20，则最小值为______．

Answer 1

∵f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．
∵f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，
∴f（2）＞f（-2）．
因为在（-1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，
因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2．
故f（x）=-x³+3x²+9x-2，因此f（-1）=1+3-9-2=-7，
即函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为-7，
故答案为：-7．