Question

已知函数f（x）=ax+1ax?1（a＞1）（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求a=2，x∈[1，2]时，求f（x）的

已知函数f（x）=ax+1ax?1（a＞1）（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求a=2，x∈[1，2]时，求f（x）的值域；（Ⅲ）解不等式f（x）≥2．

Answer 1

解（1）要使函数有意义，则a^x-1≠0，则x≠0，即函数定义域关于原点对称．
∴f（-x）=

a?x+1

a?x?1

＝

1+ax

1?ax

=-=

ax+1

ax?1

=-f（x），
即函数f（x）是奇函数．
（2）当a=2时，f（x）=

ax+1

ax?1

=

2x+1

2x?1

=

2x?1+2

2x?1

=1+

2

2x?1

，
∵x∈[1，2]，
∴1≤2^x-1≤3，
即

2

3

≤

2

2x?1

≤2，
即

5

3

≤1+

2

2x?1

≤3，
即函数f（x）的值域是[

5

3

，3]．
（3）由f（x）≥2．
得f（x）=

ax+1

ax?1

≥2，
当x＞0时，等价为a^x+1≥2（a^x-1），
即a^x≤3，解得0＜x≤log_a3．
若x＜0，不等式等价为a^x+1≤2（a^x-1），
此时a^x≥3此时不成立，
故不等式的解集为（0，log_a3]．