Question

数学定积分求体积问题。

如图，中间黄色部分关于OB旋转，应该怎么算呢？
要详细过程，谢谢！
搞错了，是绕AB转

Answer 1

取x轴上的微元dx,则dx两端向上作垂线交AB的面积为A（x）=ydx（这里我根号打不出来，就用y代替了，但A是一个一元函数）。这一层薄片绕AB旋转所为的体积为V（x）=A（x）*2*pai*（1-x）.
于是建立积分式VOLUME=∫（0，1）ydx*2pai(1-x).
根据∫x^(1/2)dx=2/3*x^(2/3),
∫x*x^(1/2)dx=∫x^(3/2)dx=2/5x^(5/2),
得上式定积分为4pai(2/3-2/5)=16/15pai.
而volume（旋转体oab）显然为2/3pai.
∴所求体积为0.4pai.
纯手打，有的符号和说法不会打所以用了各种函数记号。另外计算中可能会有错误，仅供参考。

Answer 2

取x轴上的微元dx,则dx两端向上作垂线交AB的面积为A（x）=ydx（这里我根号打不出来，就用y代替了，但A是一个一元函数）。这一层薄片绕AB旋转所为的体积为V（x）=A（x）*2*pai*（1-x）.
于是建立积分式VOLUME=∫（0，1）ydx*2pai(1-x).
根据∫x^(1/2)dx=2/3*x^(2/3),
∫x*x^(1/2)dx=∫x^(3/2)dx=2/5x^(5/2),
得上式定积分为4pai(2/3-2/5)=16/15pai.
而volume（旋转体oab）显然为2/3pai.
∴所求体积为0.4pai.