Question

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn＝an+12n?1?n(n+1)，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，得a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n-2a_n-1+（n-1）=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
所以{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．（6分）
（Ⅱ）∵b_n=

an+1

2n?1?n(n+1)

=

2n

2n?1?n(n+1)

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．（12分）