Question

（2010?湖南）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．（Ⅰ）求异面直线A1

（2010?湖南）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M．

Answer 1

（1）如图，因为C₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁为异面直线A₁M和C₁D₁所成的角，
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁
∴∠A₁B₁M=90°
∵A₁B₁=1，B₁M=

2

∴tan∠MA₁B₁=

2

即异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值为

2

．
（Ⅱ）∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，BM?面BCC₁B₁
∴A₁B₁⊥BM①
由（1）知B₁M=

2

，BM=

2

，B₁B=2
∴BM⊥B₁M②
∵A₁B₁∩B₁M=B₁
∴由①②可知BM⊥面A₁B₁M
∵BM?面ABM
∴平面ABM⊥平面A₁B₁M．