Question

（2013?聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相

（2013?聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=43，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．

Answer 1

证明：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×4

3

=2

3

，
设OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x-2，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴x²=（x-2）²+（2

3

）²，
解得：x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，AD=

AE2+DE2

=4

3

，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∵AD=CD，
∴平行四边形FADC是菱形；

（2）连接OF，AC，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵AO=CO
∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA
即∠OCF=∠OAF=90°
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．