Question

已知函数f（x）=e x -mx（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x 2 存在两

已知函数f（x）=e x -mx（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x 2 存在两个零点，求m的取值范围；（3）证明： ( 1 n ) n +( 2 n ) n +( 3 n ) n +…+( n n ) n ＜ e e-1 ．

Answer 1

（1）当m=1时，f（x）=e x -x， ∴f′（x）=e x -1， 当x＜0时，f′（x）＜0， 当x＞0时，f′（x）＞0， ∴f（x） min =f（x）=1． （2）由g（x）=f（x）-lnx+x 2 =0， 得m= e x -lnx+ x 2 x ， 令h（x）= e x -lnx+ x 2 x ， 则h′（x）= (x-1)e x +lnx+ x 2 -1 x 2 ， 观察得x=1时，h′（x）=0． 当x＞1时，h′（x）＞0， 当0＜x＜1时，h′（x）＜0， ∴h（x） min =h（1）=e+1， ∴函数g（x）=f（x）-lnx+x 2 存在两个零点时m的取值范围是（e+1，+∞）． （3）由（1）知e x -x≥1，∴e x ≥x+1，令x=1= k n ，则x= k n -1 ， ∴e   k n -1 ≥ k n ，∴e   k-n ≥( k n ) n ∴ ( 1 n ) n + ( 2 n ) n + ( 3 n ) n +…+ ( n n ) n ≤e 1-n +e 2-n +…+1= 1-( 1 e ) n 1- 1 e ＜ e e-1 所以 ( 1 n ) n +( 2 n ) n +( 3 n ) n +…+( n n ) n ＜ e e-1 ．        （14分）