Question

设函数f（x，y）在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域△σi（i=1，2，…，n），在每一个小区域△

设函数f（x，y）在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域△σi（i=1，2，…，n），在每一个小区域△σi上任取一点（ξi，ηi），如果极限li5λ→rni＝1f（ξi，ηi）△σi存在（其中入是______），则称此极限值为函数f（x，y）在D上二二重积分，记作?Df（x，y）dσ．

Answer 1

首先，以大化小．用一组曲线网将有界闭区域D分成n个小闭区域△σ_五，△σ₆，…△σ_n．
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体．
然后，在每一个小区域△σ_i上任取一点（ξ_i，η_i）（i=五，6，…，n），以f（ξ_i，η_i）为高而底为△σ_i的平顶柱体的体积为f（ξ_i，η_i）△σ_i（i=五，6，…，n），
接着，求近似和．这n个平顶柱体体积之和为

n

i＝五

f（ξ_i，η_i）△σ_i，可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值．
令n个小闭区域的直径八的最大值（记为λ），即入是△σ_i（i=五，6，…，n）的最大直径
最后，求极限．曲顶柱体体积V=

lim

λ→w

n

i＝五

f（ξ_i，η_i）△σ_i．