Question

已知函数f（x）=x2+ax+b．（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，求b的取值范围；（2）当x∈[-1，1]时

已知函数f（x）=x2+ax+b．（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，求b的取值范围；（2）当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为M，求证：M≥b+1；（3）若a∈(0，12)，求证：对于任意的x∈[-1，1]，|f（x）|≤1的充要条件是a24?1≤b≤?a．

Answer 1

（1）对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，即不等式f（x）-2x-a≥0对?x∈R恒成立，
记F（x）=x²+（a-2）x+b-a，则F（x）的最小值为F（

2?a

2

）=-

1

4

（a-2）²+b-a≥0，
即b≥1+

1

4

a²≥1，所以b的取值范围是[1，+∞）
（2）∵x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为M，
∴f（-1）≤M且f（1）≤M，即

1?a+b≤M 1+a+b≤M

，两式相加得2+2b≤2M
所以不等式M≥b+1成立；
（3）∵0＜a＜

1

2

，∴-

1

4

＜-

a

2

＜0，函数f（x）=x²+ax+b的图象的对称轴x=-

a

2

∈[-1，1]，
∴函数在[-1，-

a

2

）上是减函数，在（-

a

2

，1]上是增函数
因此函数f（x）=x²+ax+b的最小值为f（-

a

2

）=b-

1

4

a²，最大值为f（1）=1+a+b
而不等式|f（x）|≤1即-1≤f（x）≤1，它的充要条件是1+a+b≤1且-1≤b-

1

4

a²
解之得

1

4

a²-1≤b≤-a，命题得证．