Question

（2014?越秀区一模）如图，已知直线l：y=-x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1）2+k经过点A，其顶点为B，另一

（2014?越秀区一模）如图，已知直线l：y=-x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x-h）2+2-h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C，（1）求点B的坐标，并判断点D是否在直线l上，请说明理由；（2）设交点C的横坐标为m．①请探究m关于h的函数关系式；②连结AC、CD，若∠ACD=90°，求m的值．

Answer 1

解：（1）当x=0时候，y=-x+2=2，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入，得1+k=2
∴k=1，
∴B（1，1）
∵D（h，2-h）
∴当x=h时，y=-x+2=-h+2=2-h
∴点D在直线l上；

（2）①（m-1）²+1或（m-h）²-h+2
由题意得（m-1）²+1=（m-h）²-h+2，
整理得2mh-2m=h²-h
∵h＞1
∴m=

h2?h

2h?2

=

h

2

．

②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠CDF
又∵∠AEC=∠DFC
∴△ACE∽△CDF
∴

AE

BC

＝

CF

DF

又∵C（m，m²-2m+2），D（2m，2-2m），
∴AE=m²-2m，DF=m²，CE=CF=m
∴

m2?2m

m

＝

m

m2

∴m²-2m=1
解得：m=±

2

+1
∵h＞1
∴m=

h

2

＞

1

2

∴m=

2

+1．