设函数f（x，y）在R2内具有一阶连续偏导数，且?f?x=2x，证明曲线积分∫ L2xydx+f（x，y）dy与路径无关．
设函数f（x，y）在R2内具有一阶连续偏导数，且?f?x=2x，证明曲线积分∫L2xydx+f（x，y）dy与路径无关．若对任意的t恒有∫(t，1)(0，0)2xydx+...
设函数f（x，y）在R2内具有一阶连续偏导数，且?f?x=2x，证明曲线积分∫ L2xydx+f（x，y）dy与路径无关．若对任意的t恒有∫(t，1)(0，0)2xydx+f（x，y）dy=∫(1，t)(0，0)2xydx+f（x，y）dy，求f（x，y）的表达式．
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证明：因为
=2x
，故曲线积分
2xydx+f（x，y）dy与路径无关．
因此设f（x，y）=x2+g（y），从而
有
2xydx+f（x，y）dy=
0dx+
[t2+g(y)]dy=t2+
g(y)dy，
而
2xydx+f（x，y）dy=
0dx+
[1+g(y)]dy=t+
g(y)dy，
由此得t2+
g(y)dy=t+
g(y)dy对任意t成立，两边对t求导，
于是g（t）=2t-1，即
f（x，y）=x2+g（y）=x2+2y-1．
| ?f |
| ?x |
| ?(2xy) |
| ?y |
| ∫ | L |
因此设f（x，y）=x2+g（y），从而
有
| ∫ | (t，1) (0，0) |
| ∫ | t 0 |
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 0 |
而
| ∫ | (1，t) (0，0) |
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | t 0 |
| ∫ | t 0 |
由此得t2+
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | t 0 |
于是g（t）=2t-1，即
f（x，y）=x2+g（y）=x2+2y-1．
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