Question

已知△ABC与△ADE是等边三角形，点B、A、D在一条直线上，∠CPN=60°交直线AE于点N；（1）若点P在线段AB上

已知△ABC与△ADE是等边三角形，点B、A、D在一条直线上，∠CPN=60°交直线AE于点N；（1）若点P在线段AB上运动、（不与A、B重合）猜想线段PC、PN的数量关系并证明；（2）若点P在线段AD上运动、（不与A、D重合），画出图形，猜想线段PC、PN的数量关系；（3）总结：若点P在直线AB上运动、（不与A、B、D重合），线段PC、PN的数量关系会保持不变吗？

Answer 1

（1）如图，在AC上截取AF=AP
∵AP=AF，∠BAC=60°，
∴△APF为等边三角形，
∴PF=AP，
∵∠CPF+∠FPN=60°，∠FPN+∠NPA=60°，
∴∠CPF=∠APN，
又∵∠PAN=∠PFC=120°
∴△PCF≌△PNA，
∴PC=PN；


（2）当P在AD上时，∠CPN的一边PN交AE的延长线于N，此时也有PC=PN
过P作AC的平行线交BC的延长线于F，
∴∠F=∠BCA=60°，∠APF=∠BAC=60°，
∴∠F=∠APF，
∴CF=AP，
∵∠CPN=60°，
∴∠NPF=60°-∠FPC，
∵∠BPC=60°-∠CPF，
∴∠NPF=∠BPC，
∵∠F=∠PAN=60°，
∴∠FCP=∠APN=60°+∠APC，

在△PCF和△NPA中，

∠F＝∠NAP ∠FCP＝∠APN CF＝AP

∴△PCF≌△NPA（AAS），
∴PC=PN；


（3）线段PC、PN的数量关系保持不变；
无论点P在AB上哪个点，都有△PCF≌△PNA，
∴PC，PN的数量关系不变．