Question

证明：过抛物线准线上的点做抛物线两条切线，则两个切点所在直线过焦点。高考数学

Answer 1

要先建系,抛物线顶点为原点,焦点在x轴或者y轴
倒是无所谓的,我证在y轴上的
设x^2=2py(p>0),则准线上任意一点P(x0,-p/2),设抛物线上有一点Q(x,x^2/2p)使PQ与其相切,则
f'(x)=x/p,所以(x^2/2p+ p/2)/x-x0=x/p,整理得x^2-2x0x-p^2=0设两切点分别Q1(x1,x1^2/2p)Q2(x2,x2^2/2p) x1x2=-p^2
PQ1向量=(x1,x1^2/2p -p/2)PQ2向量=(x2,x2^2/2p -p/2)据向量共线定理
x1(x2^2/2p -p)-x2(x1^2/2p -p)=x1x2(x2-x1)/2p +p(x2-x1)/2=(x2-x1)(x1x2/2p +p/2)=0
即PQ1向量PQ2向量共线所以三点共线

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追答

对于抛物线Y2=2pX,有如下结论：
抛物线上连线过焦点（即弦）的两点(x1,y1),(x2,y2)满足y1*y2=-p2.
证明较简单，设出直线方程即可，横坐标用纵坐标表示，很巧。

对于抛物线Y2=2pX，设其弦两端点为（y02/2p,y0),(p3/2y02,-p2/y0)，抛物线方程的导函数为F(y)=y/p,即(x1-x2)/(y1-y2)=y/p.
故（y1-y2）/(x1-x2)=p/y,即抛物线Y2=2pX上一点（x,y）的切线的斜率为p/y.
故过两端点的切线方程为Y1=(p/y0)x+y0/2, Y2=(-y0/p)x-(p/2y0).
故两直线交点横坐标恒为（-p/2）,又由抛物线图象可知，其纵坐标可以取遍所有实数，故其轨迹方程即准线方程，故在准线上一点P，过P做抛物线两条切线，两个切点连线过焦点。

过抛物线准线上任意一点做该抛物线的两条切线。证明：两切线互相垂直且切点连线过抛物线焦点
首先，现设切线方程y=kx+b,∵过点（-p/2，0）∴b=pk/2 y^2=2px y=kx+pk/2 两式联立，消去y，之后你最好自己算一下，这儿不太好打，总之会求出一个关于x的二次方程，因为是切线，所以△=b^2-4ac=0 鱚2=0 然后展开，最后得k^2=1，取k=1 所以原切线方程：y=x+ p/2 再与抛物线方程联立，求得x=p/2 最好你自己再算一遍~ 计算有点仓促，重点在于过程

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