Question

已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 2 ?a 4 =a 6 ， 2 a 3 + 1 a 4 =

已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 2 ?a 4 =a 6 ， 2 a 3 + 1 a 4 = 1 a 5 ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ；（Ⅱ）设数列{a n }的前n项和为S n ，前n项积为T n ，求所有的正整数k，使得对任意的n∈N * ，不等式S n+K + T n 4 ＜1 恒成立．

Answer 1

（Ⅰ） 设等比数列{a n }的首项为a 1 ＞0，公比为q＞0， ∵a 2 ?a 4 =a 6 ， 2 a 3 + 1 a 4 = 1 a 5 ， ∴ a 1 q? a 1 q 3 = a 1 q 5 2 a 1 q 2 + 1 a 1 q 3 = 1 a 1 q 4 ， 解得 a 1 =q= 1 2 ， ∴ a n = 1 2 n ． （Ⅱ）∵ a n = 1 2 n ， ∴ S n = 1 2 + 1 2 2 +…+ 1 2 n = 1 2 ×(1- 1 2 n ) 1- 1 2 = 1- 1 2 n ， T n = 1 2 × 1 2 2 ×…× 1 2 n = ( 1 2 ) n(n+1) 2 ， 若存在正整数k，使得不等式 S n+k + T n 4 ＜1 对任意的n∈N * 都成立， 则 1- 1 2 n+k + ( 1 2 ) n(n+1) 2 +2 ＜1，即 k＜ 1 2 [(n- 1 2 ) 2 + 15 4 ] ， ∵只有当n=1时， 1 2 [(n- 1 2 ) 2 + 15 4 ] 取得最小值2，满足题意． ∴k＜2，正整数k只有取k=1．