Question

设等差数列{a n }的前n项和为S n ，且a 2 =4，S 5 =30．数列{b n }满足b 1 =0，b n =2b n-1 +1，（n∈N，

设等差数列{a n }的前n项和为S n ，且a 2 =4，S 5 =30．数列{b n }满足b 1 =0，b n =2b n-1 +1，（n∈N，n≥2），①求数列{a n }的通项公式；②设C n =b n +1，求证：{C n }是等比数列，且{b n }的通项公式；③设数列{d n }满足 d n = 4 a n a n+1 + b n ，求{d n }的前n项和为T n ．

Answer 1

①由a 2 =a 1 +d=4，S 5 =5a 1 + 5×4 2 d=30得：a 1 =2，d=2， ∴a n =2+2（n-1）=2n…（4分） ②∵b n =2b n-1 +1，c n =b n +1， ∴ c n c n-1 = b n +1 b n-1 +1 = 2( b n-1 +1) b n-1 +1 =2（n≥2，n∈N） ∴{c n }是以2为公比的等比数列． 又∵c 1 =b 1 +1=1， ∴c n =b n +1=1×2 n-1 =2 n-1 ， ∴b n =2 n-1 -1…（9分） ③∵d n = 4 a n ? a n+1 +b n = 4 2n?2(n+1) +2 n-1 -1=（ 1 n - 1 n+1 ）+2 n-1 -1， ∴T n =[（1- 1 2 ）+（ 1 2 - 1 3 ）+…+（ 1 n - 1 n+1 ）]+（1+2+2 2 +…+2 n-1 ）-n =（1- 1 n+1 ）+ 1 -2 n 1-2 -n =2 n -n- 1 n+1 （14分）