Question

如果关于x的方程 |x| x+4 =k x 2 有4个不同的实数解，则实数k的取值范围是（　　） A．

如果关于x的方程 |x| x+4 =k x 2 有4个不同的实数解，则实数k的取值范围是（　　） A． (0， 1 4 ) B． ( 1 4 ，1) C．（1，+∞） D． ( 1 4 ，+∞)

Answer 1

方程 |x| x+4 =k x 2 ① （1）由方程的形式可以看出，x=0恒为方程①的一个解 （2）当x＜0且x≠-2时方程①有解，则 -x x+4 =k x 2 即kx 2 +4kx+1=0 当k=0时，方程kx 2 +4kx+1=0无解； 当k≠0时，△=16k 2 -4k≥0即k＜0或k≥ 1 4 时，方程kx 2 +4kx+1=0有解． 设方程kx 2 +4kx+1=0的两个根分别是x 1 ，x 2 则x 1 +x 2 =-4，x 1 x 2 = 1 k ． 当k＞ 1 4 时，方程kx 2 +4kx+1=0有两个不等的负根； 当k= 1 4 时，方程kx 2 +4kx+1=0有两个相等的负根； 当k＜0时，方程kx 2 +4kx+1=0有一个负根． （3）当x＞0时，方程①有解，则 x x+4 =k x 2 ，kx 2 +4kx-1=0 当k=0时，方程kx 2 +4kx-1=0无解； 当k≠0时，△=16k 2 +4k≥0即k＞0或k≤- 1 4 时，方程kx 2 +4kx-1=0有解． 设方程kx 2 +4kx-1=0的两个根分别是x 3 ，x 4 ∴x 3 +x 4 =-4，x 3 x 4 =- 1 k ． ∴当k＞0时，方程kx 2 +4kx-1=0有一个正根， 当k≤- 1 4 时，方程kx 2 +4kx+1=0没有正根 综上可得，当k∈（ 1 4 ，+∞）时，方程 |x| x+4 =k x 2 有4个不同的实数解．