Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；②∠BOC=90°+12∠A；③EF不能成为△ABC的中位线；④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是（　　）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

Answer 1

∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠OBC=∠OBE，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，
∴∠OBE=∠BOE，
∴OE=BE，
同理可得OF=CF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故①正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

（180°-∠A），
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，故②正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到BC的距离等于点O到AC的距离OD，
又由垂线段最短可得OD＜OA，
∴点O不在△ABC的中位线上，
即EF不能成为△ABC的中位线，故③正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到AB、AC的距离相等，都是OD=m，
∴S_△AEF=

1

2

AE?m+

1

2

AF?m=

1

2

mn，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③．
故选A．