Question

已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1+2an-1=3an（n≥2）（Ⅰ）证明：数列{an+1-an}是等比数列；（Ⅱ）求数

已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1+2an-1=3an（n≥2）（Ⅰ）证明：数列{an+1-an}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设bn=an-1，Sn=a1b1b2+a2b2b3+…+anbnbn+1，求使Sn＞16（m2-3m）对所有的n∈N*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

（I）∵a_n+1+2a_n-1=3a_n（n≥2），
∴

an+1?an

an?an?1

=2（n≥2）…（2分）
∴{a_n+1-a_n}是公比为2的等比数列     …（3分）
（II）∵{a_n+1-a_n}是公比为2等比数列，首项为2
∴a_n+1-a_n=2ⁿ．…（5分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2¹+2²+…+2^n-1=2ⁿ，当n=1时，a₁=2也适合上式，
∴a_n=2ⁿ．…（7分）
（Ⅲ）∵a_n=2ⁿ，∴b_n=2ⁿ-1，
∴

an

bnbn+1

=

2n

(2n?1)(2n+1?1)

=

1

2n?1

-

1

2n+1?1

，…（9分）
∴S_n=

1

21?1

-

1

22?1

+

1

22?1

-

1

23?1

+…+

1

2n?1

-

1

2n+1?1

=1-

1

2n+1?1

…（10分）   
∴n越大，S_n越大，
∴n=1时，S_n取最小值

2

3

，…（11分）
由已知有（S_n）_min＞

1

6

（m²-3m），
∴

2

3

＞

1

6

（m²-3m），解得-1＜m＜4，…（12分）
故所求最大正整数m的值为3．…（13分）