Question

如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0）

如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）若点E在x轴上，点F在抛物线上．是否存在以C，D，E，F为顶点且以CD为一边的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线过点A（-1，0），C（0，2），
∴

? 1 2 ?m+n＝0 n＝2

，
解得：

m＝ 3 2 n＝2

，
∴函数解析式为：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；
（2）由（1）得，y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
令y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=0，
解得：x=-1或x=4，
即点B（4，0），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则有：

0＝4k+b 2＝b

，
解得：

k＝? 1 2 b＝2

，
∴y=-

1

2

x+2，
设点P横坐标为a，
则点P纵坐标为=-

1

2

a+2，
∵PQ∥y轴，
∴点Q的横坐标为a，纵坐标为-

1

2

a²+

3

2

a+2，
PQ=-

1

2

a²+

3

2

a+2-（-

1

2

a+2）=-

1

2

a²+2a=-

1

2

（a-2）²+2，
∵-

1

2

＜0，开口向下，有最大值，
∴当a=2时，PQ有最大值2；
（3）如图所示，
①平移直线CD交x轴于点E，交x轴下方的抛物线于点F，当CD=E₁F₁时，四边形CDEF为平行四边形，
∵C（0，2）
∴设F（x，-2），代入解析式得：-

1

2

x²+

3

2

x+2=-2，
解得：x=

3± 41

2

，
此时存在点F₁（

3? 41

2

，-2），F₂（

3+ 41

2

，-2）；
②过点C作CF₃∥x轴交抛物线于点F₃，过点F₃作F₃E₃∥CD交x轴于点E₃，此时四边形CDE₃F₃为平行四边形，
此时F₃纵坐标为2，
将纵坐标代入函数解析式得：-

1

2

x²+

3

2

x+2=2，
解得：x=0或x=3，
此时存在点F₃（3，2）．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是F₁（

3? 41

2

，-2），F₂（

3+ 41

2

，-2），F₃（3，2）．