Question

已知函数f（x）=3sin（x-?）cos（x-?）-cos2（x-?）+12（0≤?≤π2）为偶函数．（I）求函数的最小正周期

已知函数f（x）=3sin（x-?）cos（x-?）-cos2（x-?）+12（0≤?≤π2）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移π6个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．

Answer 1

（I）函数f（x）=

3

sin（x-?）cos（x-?）-cos²（x-?）+

1

2

=

3

2

sin（2x-2φ）-

1

2

（2cos²φ-1）=

3

2

sin（2x-2φ）-

1

2

cos（2x-2φ）
=sin（2x-2φ?

π

6

）
函数f（x） 为偶函数，则-2φ?

π

6

=kπ，k∈z
∵0≤?≤

π

2

∴φ=

5π

12

∴f（x）=sin（2x-π）=-sin2x
∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π
令2x∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z  解得：-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ
∴函数f（x）的单调递减区间为[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]k∈Z
（II）由（I）知f（x）=-sin2x
由题意知g（x）=-sin[2（x-

π

6

）]=-sin（2x-

π

3

）
令2x-

π

3

=kπ（k∈Z），则x=

π

6

+

kπ

2

 （k∈Z），
∴函数的对称中心坐标为（

π

6

+

kπ

2

，0）（k∈Z）．