Question

如图，P是正方形ABCD对角线BD上一动点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，（1）若CF=3，CE=4，求AP的长．

如图，P是正方形ABCD对角线BD上一动点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，（1）若CF=3，CE=4，求AP的长．（2）若AB=8，直接写出EF的最小值为______．

Answer 1

（1）设正方形ABCD的边长为a，
作PF延长线交AD于Q，则四边形DEPQ为正方形，
∴PQ=DQ=3，
∵PQ=FQ-PF，
即a-4=3，
∴a=7，
即 AD=7，
∴AQ=AD-DQ=4，
∴AP=

32+42

=5
（2）连结PC，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠BCD=90°，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
又∵BP=BP，
在△ABP和△CBP中，

AB＝BC ∠ABP＝∠CBP BP＝BP

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PFC=∠PEC=∠BCD=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴PC=FE，
∴EF=AP=5，
故答案为：5．