Question

已知如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD 2 +CD 2 =2AB 2 （1）求证：AB=BC；（2）过B作BF ∥

已知如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD 2 +CD 2 =2AB 2 （1）求证：AB=BC；（2）过B作BF ∥ AC交CD的延长线于F，连EF，求证：AE=CF+EF．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AD， ∴∠ADC=90°， ∴AD 2 +CD 2 =AC 2 ， 而AD 2 +CD 2 =2AB 2 ， ∴AC 2 =2AB 2 ， ∵∠ABC=90°， ∴AB 2 +BC 2 =AC 2 ， ∴2AB 2 =AB 2 +BC 2 ， ∴AB=BC； （2）证明：过B点作BH⊥AC于H，交AE于G点，如图， ∵AB=AC，∠ABC=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠3=∠4=∠5=45°， ∵∠AGH+∠GAH=90°，∠2+∠3+∠CAD=90°， ∴∠AGH=∠2+∠3， 而∠AGH=∠1+∠4， ∴∠1=∠2； ∵BF ∥ AC， ∴∠6=∠3=45°， ∴∠4=∠6， ∵在△ABG和△CBF中， ∠1=∠2 AB=CB ∠4=∠6 ， ∴△ABG≌△CBF（ASA）， ∴AG=CF，BG=BF， ∵在△BGE和△BFE中， BG=BF ∠5=∠6 BE=BE ， ∴△BGE≌△BFE（SAS）， ∴GE=EF， 而AE=AG+GE， ∴AE=CF+EF．