Question

在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是O

在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E.⑴求经过点D、B、E的抛物线的解析式；⑵将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交⑴中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为 ，那么结论OF= DG能成立吗？请说明理由.⑶过⑵中的点F的直线交射线CB于点P，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标.

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Answer 1

解：（1）∵BE⊥DB交x轴于点E，OABC是正方形，∴∠DBC=EBA。 在△BCD与△BAE中，∵∠BCD=∠BAE=90°， BC="BA" ，∠DBC=∠EBA ， ∴△BCD≌△BAE（ASA）。∴AE=CD。 ∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中点， ∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）． 设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y=ax 2 +bx+c，则有： ，解得 。 ∴经过点D、B、E的抛物线的解析式为： 。 （2）结论OF= DG能成立．理由如下： 由题意，当∠DBE绕点B旋转一定的角度后，同理可证得△BCG≌△BAF，∴AF=CG。 ∵x M = ，∴ 。∴M（ ）。 设直线MB的解析式为y MB =kx+b， ∵M（ ），B（4，4）， ∴ ，解得 。 ∴y MB = x+6。∴G（0，6）。 ∴CG=2，DG=4。∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F（2，0）。 ∵OF=2，DG=4，∴结论OF= DG成立。 （3）如图，△PFE为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下： ①若PF=FE。 ∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4， ∴此时P点位于射线CB上。 ∵F（2，0），∴P（2，4）。 此时直线FP⊥x轴。来]∴x Q =2。 ∴ ， ∴Q 1 （2， ）。 ②若PF=PE。 如图所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，∴△BEF为等腰三角形。 ∴此时点P、Q与点B重合。∴Q 2 （4，4）。 ③若PE=EF。 ∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，∴此时P点位于射线CB上。 ∵E（6，0），∴P（6，4）。 设直线y PF 的解析式为y PF =kx+b，∵F（2，0），P（6，4）， ∴ ，解得 。∴y PF =x﹣2。 ∵Q点既在直线PF上，也在抛物线上， ∴ ，化简得5x 2 ﹣14x﹣48=0， 解得x 1 = ，x 2 =﹣2（不合题意，舍去）。∴x Q =2。 ∴y Q =x Q ﹣2= 。∴Q 3 （ ）。 综上所述，Q点的坐标为Q 1 （2， ）或Q 2 （4，4）或Q 3 （ ）。

（1）由正方形的性质和△BCD≌△BAE求得E点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式。 （2）求出M点坐标，然后利用待定系数法求直线MB的解析式，令x=0，求得G点坐标，从而得到线段CG、DG的长度；由△BCG≌△BAF，可得AF=CG，从而求得OF的长度．比较OF与DG的长度，它们满足OF= DG的关系，所以结论成立； （3）分PF=FE、PF=PE和PE=EF三种情况，逐一讨论并求解。