Question

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．

Answer 1

（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形， ∴AC=BC=m，OA=m﹣3， ∴点A的坐标是（3﹣m，0）． （2）解：∵∠ODA=∠OAD=45° ∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）． 又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D， 所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1） 2 ， 得： 解得 ∴抛物线的解析式为y=x 2 ﹣2x+1； （3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N， 设点Q的坐标是（x，x 2 ﹣2x+1）， 则QM=CN=（x﹣1） 2 ，MC=QN=3﹣x． ∵QM∥CE ∴△PQM∽△PEC ∴ 即 ， 得EC=2（x﹣1） ∵QN∥FC ∴△BQN∽△BFC ∴ 即 ， 得 又∵AC=4 ∴FC（AC+EC）= [4+2（x﹣1）]= （2x+2）= ×2×（x+1）=8 即FC（AC+EC）为定值8．