Question

已知函数 f(x)=2ax- b x +lnx 在x=1和 x= 1 2 处取得极值．（Ⅰ）求实数a，b的值；（

已知函数 f(x)=2ax- b x +lnx 在x=1和 x= 1 2 处取得极值．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间 [ 1 4 ，2] 上存在x 0 ，使得不等式f（x 0 ）-c≤0成立，求实数c的最小值．（参考数据e 2 ≈7.389，e 3 ≈20.08）

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）定义域为（0，+∞） f′(x)=2a+ b x 2 + 1 x …（2分） 依题意得， f′(1)=2a+b+1=0 f′( 1 2 )=2a+4b+2=0 ，解得， a=- 1 3 b=- 1 3 故所求a，b的值为 a=b=- 1 3 …（5分） （Ⅱ）在 [ 1 4 ，2] 上存在x 0 ，使不等式f（x 0 ）-c≤0成立，只需c≥[f（x 0 ）] min 由（Ⅰ）知 f′(x)=- 2 3 x- 1 3 x 2 + 1 x =- (2x-1)(x-1) 3 x 2 当 x∈[ 1 4 ， 1 2 ] 时，f′（x）＜0，故函数f（x）在 [ 1 4 ， 1 2 ] 上单调递减， 当 x∈[ 1 2 ，1] 时，f′（x）＞0，故函数f（x）在 [ 1 2 ，1] 上单调递增， 当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，故函数f（x）在 [ 1 4 ， 1 2 ] 上单调递减…（7分） ∴ f( 1 2 )= 1 3 -ln2 是f（x）在 [ 1 4 ，2] 上的极小值，且函数f（x）的最小值必是 f( 1 2 )，f(2) 两者中较小的…（8分） 而 f(2)=- 7 6 +ln2 ， f( 1 2 )-f(2)= 3 2 -ln4=ln e 3 2 -ln4= 1 2 ln e 3 16 ∵e 3 ≈20.08＞16， f( 1 2 )-f(2)＞0 ∴ [f(x) ] min =f(2)=- 7 6 +ln2 …（9分）∴ c≥[f(x) ] min =- 7 6 +ln2 所以，实数c的最小值为 - 7 6 +ln2 ．…（10分）