Question

已知双曲线 C： x 2 4 - y 2 =1 ，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近

已知双曲线 C： x 2 4 - y 2 =1 ，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．

Answer 1

（1）设P（x 1 ，y 1 ）是双曲线上任意一点， 该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0． 点P（x 1 ，y 1 ）到两条渐近线的距离分别是 | x 1 -2 y 1 | 5 和 | x 1 +2 y 1 | 5 ， 它们的乘积是 | x 1 -2 y 1 | 5 ? | x 1 +2 y 1 | 5 = | x 1 2 -4 y 1 2 | 5 = 4 5 ． 点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数． （2）设P的坐标为（x，y），则|PA| 2 =（x-3） 2 +y 2 = (x-3 ) 2 + x 2 4 -1 = 5 4 (x- 12 5 ) 2 + 4 5 ∵|x|≥2，∴当 x= 12 5 时，|PA| 2 的最小值为 4 5 ， 即|PA|的最小值为 2 5 5 ．