Question

设函数f（x）在x=0的邻域内具有三阶导数，且limx→0(1+x+f(x)x)1x=e3（1）求f（0），f′（0），f″（0）

设函数f（x）在x=0的邻域内具有三阶导数，且limx→0(1+x+f(x)x)1x=e3（1）求f（0），f′（0），f″（0）．（2）求 limx→0(1+f(x)x)1x．

Answer 1

（1）因为 

lim

x→0

(1+x+

f(x)

x

)

1

x

=e3，
所以：

lim

x→0

ln(1+x+ f(x) x )

x

=3
由于分母极限为0，所以 

lim

x→0

ln(1+x+

f(x)

x

)=0，
即：

lim

x→0

(x+

f(x)

x

)=0

lim

x→0

f(x)

x

=0，
又因为 f（x）在x=0连续，则 

lim

x→0

f(x)=f(0)=0
f′(0)=

lim

x→0

f(x)-f(0)

x-0

=0，
由：

lim

x→0

ln(1+x+ f(x) x )

x

=3
得：

lim

x→0

ln(1+x+ f(x) x )

x

=

lim

x→0

x+ f(x) x

x

=

lim

x→0

(1+

f(x)

x2

)=3，
所以：

lim

x→0

f(x)

x2

=2，
即：

lim

x→0

f′(x)

2x

=2，
由此得：f″(0)=

lim

x→0

f′(x)-f′(0)

x-0

=4
（2）

lim

x→0

(1+

f(x)

x

)

1

x

=e

Answer 2

首先分母趋于0，但极限有界，所以
分子也趋于0才可能
一看的确
洛必达一次
lim
[f(x)+xf'(x)-1/(1+x)]/3x^2=1/3
同理分子在x=0时应该为0
所以
f(0)+0-1=0
f(0)=1
洛必达第二次
lim
[f'+f'+xf''+1/(1+x)^2]/6x=1/3
同理分子在x=0时应该为0
所以
2f'(0)+0+1=0
f'(0)=-1/2
洛必达第三次
lim
[2f''+f''+xf'''-2/(1+x)^3]/6=1/3
即
3f''(0)-2=2
f''(0)=4/3
f(0)=1,f'(0)=-1/2,f''(0)=4/3