Question

已知抛物线方程为y2=2px（p＞0），过焦点F的直线l与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2），AA1、BB1垂直于

已知抛物线方程为y2=2px（p＞0），过焦点F的直线l与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2），AA1、BB1垂直于准线，垂足分别为A1、B1，AB的中垂线交x轴于点R．求证：（1）x1x2=p24，y1y2＝?p2； （2）通径长为2p，且通径是最短的焦点弦；（3）以AB为直径的圆与准线相切； （4）∠A1FB1=90°；（5）1|AF|+1|BF|＝2p； （6）|FR|=|AB|2．

Answer 1

解：（1）设直线方程为x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2mpy+p²=0，
∴y₁y₂=-p²，x₁?x₂=

y12

2p

?

y22

2p

=

p2

4

；
（2）根据通径的概念，令x=

p

2

，可得y=±p，∴通径长为2p，且通径是最短的焦点弦；
（3）由于过焦点的弦为AB，AB的中点是M，M到准线的距离是d．
而A到准线的距离d₁=|AF|，Q到准线的距离d₂=|BF|．
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=

|AF|+|BF|

2

，
由抛物线的定义可得：

|AF|+|BF|

2

=

|AB|

2

，等于半径．
所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切．
（4）如图：设准线与x轴的交点为K，∵A、B在抛物线的准线上的射影为A₁、B₁，
由抛物线的定义可得，AA₁=AF，∴∠AA₁F=∠AFA₁，又由内错角相等得∠AA₁F=∠A₁FK，∴∠AFA₁=∠A₁FK．
同理可证∠BFB₁=∠B₁ FK．   
由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，
∴∠A₁FK+∠B₁FK=∠A₁FB₁=90°，
（5）AB倾斜角为α，则

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1?cosα

p

+

1+cosα

p

=

2

p

；
（6）设A₁B₁的中点为O₁，连接O₁F，则
因为AB的中垂线交x轴于点R，
所以要证明|FR|=

|AB|

2

，只要证明O₁F⊥AB．O₁（-

p

2

，

y1+y2

2

），F（

p

2

，0），
∴kO1F=-

y1+y2

2p

，
设直线方程为x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2mpy+p²=0，
∴y₁+y₂=2mp，
∴k