Question

（2012?江宁区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜边AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E

（2012?江宁区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜边AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，连接BE．（1）直线BE是否与△DEC的外接圆⊙O相切？为什么？（2）当AB=3时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）是直线BE是否与△DEC的外接圆⊙O相切，理由如下：
连接OE．
∵DE 垂直平分AC，
∴∠DEC=90°．
∴DC为△DEC外接圆的直径．
∴DC的中点即为圆心O．
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点E斜边AC的中点，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ACB=30°．
∵∠EDC=90°-∠ACB=60°，
∵OE=OD．
∴∠EDC=∠EOD=60°．
∴∠EBC+∠EOD=30°+60°=90°．
∴∠BEO=90°．
∴BE⊥EO．
又∵OE为圆O的半径，
∴BE是圆O的切线；

（2）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=3，
∴AC=6．
∴EC=3．
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠ACB=30°，
∴DE=

3

．
∴S△DEC＝

1

2

DE?EC＝

3 3

2

，
∵S_半圆=

1

2

π(

3

)2=

3

2

π．
∴S_阴影=S_半圆-S_△DEC=

3

2

π?

3 3

2

．