Question

如图，以椭圆x2a2+y2=1的右焦点F2为圆心，1-c为半径作圆F2（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作

如图，以椭圆x2a2+y2=1的右焦点F2为圆心，1-c为半径作圆F2（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（Ⅰ）若a=54，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（Ⅱ）设圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，且|PT|≥32（a-c）恒成立，求直线l被圆F2所截得弦长的最大值．

Answer 1

（本题满分15分）
解：（I）由a＝

5

4

得c＝

3

4

，…（1分）
则当P为椭圆的右顶点时|PF2|＝a?c＝

1

2

，
故此时的切线长|PT|＝

|PF2|2?(1?c)2

＝

3

4

…（5分）
（Ⅱ）当|PF₂|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF₂|_min=a-c，
由|PT|≥

3

2

(a?c)恒成立，得

(a?c)2?(1?c)2

≥

3

2

(a?c)，则

3

4

≤c＜1…（7分）
由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入

x2

a2

+y2＝1

得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有