Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SB＝SC＝3．

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SB＝SC＝3．（1）求直线SD与平面ABCD所成角的正切值；（2）求二面角C-SA-B的大小的余弦值．

Answer 1

解答：解：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因为SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz，
∵AB=2，BC=2

2

，SB＝SC＝

3

，
∴A（

2

，0，0），B（0，

2

，0），C（0，-

2

，0），D（

2

，-2

2

，0），S（0，0，1），
∵

SD

=（

2

，-2

2

，-1），由平面ABCD的一个法向量为

OS

=（0，0，1），
设直线SD与平面ABCD所成角的为θ，
则sinθ=

| SD ? OS |

| SD |?| OS |

=

11

11

，
则cosθ=

110

11

，tanθ=

10

10

，
即直线SD与平面ABCD所成角的正切值为

10

10

．
（2）

SA

=（

2

，0，-1），

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