Question

已知抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（1，0），过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=

已知抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（1，0），过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=-2相交于M，N两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．

Answer 1

（Ⅰ）由焦点坐标为（1，0）可知

p

2

＝1，p=2
∴抛物线C的方程为y²=4x
（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
∴

S△ABO

S△MNO

＝(

|OF|

2

)2＝

1

4

．
当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x-1），
设M（-2，y_M），N（-2，y_N），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解  

y＝k(x?1) y2＝4x

整理得  k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∵∠AOB=∠MON，
∴x₁?x₂=1．∴

S△ABO

S△MNO

＝

1 2 ?AO?BO?sin∠AOB

1 2 ?MO?NO?sin∠MON

＝

AO

MO

?

BO

NO

＝

x1

2

?

x2

2

＝

1

4

．
综上    

S△ABO

S△MNO

＝

1

4