Question

一道线性代数问题，A.B.C都是矩阵，A的秩为什么小于等于C的秩，谢谢，这个是一个定理吗

Answer 1

本题证明方法有很多
设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，证明秩r（AB）≤min（r（A），r（B））

下面齐次方程组来证明

对于齐次方程组
① ABx=0 与 ② Bx=0
若α是方程组②的任意一个解，则由
(AB)α=A（Bα）=A0=0
知α是方程组①的解。因此方程组②的解集合是方程组①的解集合的子集。
又因为①的解向量的秩为 s-r（AB），②的解向量秩为s-r（B），故有
s-r（B）≤s-r（AB）
即r（AB）≤r（B）
另一方面，r（AB）=r（（AB）T）=r（BTAT）≤r（AT）=r（A）。
命题得证。

newmanhero 2015年1月19日14:34:55
希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

是定理，一般要求记住的，证明如下

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