Question

（2013年四川攀枝花8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，

（2013年四川攀枝花8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF． （1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F= ，求cos∠ACB的值．

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Answer 1

解：（1）证明：连接OA， ∵PA与⊙O相切， ∴PA⊥OA，即∠OAP=90°。 ∵OP⊥AB，∴D为AB中点，即OP垂直平分AB ∴PA=PB。 ∵在△OAP和△OBP中， ， ∴△OAP≌△OBP（SSS）。 ∴∠OAP=∠OBP=90°。∴BP⊥OB。 ∵OB是⊙O的半径，∴PB为圆O的切线。 （2）EF 2 =4DO?PO。证明如下： ∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，∴△OAD∽△OPA。 ∴ ，即OA 2 =OD?OP。 ∵EF为圆的直径，即EF=2OA，∴ EF 2 =OD?OP，即EF 2 =4OD?OP。 （3）连接BE，则∠FBE=90°。 ∵tan∠F= ，∴ 。∴可设BE=x，BF=2x。 则由勾股定理，得 。 ∵S △ BEF = BE?BF= EF?BD，∴BD= 。 又∵AB⊥EF，∴AB=2BD= 。 ∴Rt△ABC中，BC= ，AC 2 +AB 2 =BC 2 ， ∴12 2 +（ ） 2 =（ ） 2 ，解得：x= 。 ∴BC= =20。 ∴ 。

（1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线。 （2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证。 （3）连接BE，构建直角△BEF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF= ；然后由面积法求得 ，所以根据垂径定理求得AB的长度，在Rt△ABC中，根据勾股定理易求BC的长；最后由余弦三角函数的定义求解。