Question

已知抛物线C：x 2 =2py(p＞0)的焦点为F，A，B是抛物线C上异于坐标原点0的不同两点，抛物线C在点A，B处的

已知抛物线C：x 2 =2py(p＞0)的焦点为F，A，B是抛物线C上异于坐标原点0的不同两点，抛物线C在点A，B处的切线分别为l 1 ，l 2 ，且l 1 ⊥l 2 ，l 1 与l 2 相交于点D。(Ⅰ)求点D的纵坐标；(Ⅱ)证明：A，B，F三点共线；(Ⅲ)假设点D的坐标为（ ，-1），问是否存在经过A，B两点且与l 1 ，l 2 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，清说明理由。

Answer 1

(Ⅰ)解：设点A，B的坐标分别为(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )， l 1 ，l 2 分别是抛物线C在点A，B处的切线， ∴直线l 1 的斜率为 ，直线l 2 的斜率为 ， ∵ ， ∴ ，得 ，   ① ∵A，B是抛物线C上的点， ∴ ， ∴直线l 1 的方程为 ，直线l 2 的方程为 ， 由 ，解得： ， ∴点D的纵坐标为 。  (Ⅱ)证法一：∵F为抛物线C的焦点， ∴ ， ∴直线AF的斜率为 ， 直线BF的斜率为 ， ∵ ， ∴ ，∴A，B，F三点共线。 证法二：∵F为抛物线C的焦点， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴A，B，F三点共线。 (Ⅲ)解：不存在， 证明如下：假设存在符合题意的圆， 设该圆的圆心为M，依题意，得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|， 由l 1 ⊥l 2 ，得AD⊥BD， ∴四边形MADB是正方形，∴|AD|=|BD|， ∵点D的坐标为（ ，-1），∴ ，即p=2， 把点 代入直线l 1 ，得 ， 解得： 或 ， ∴点A的坐标为（4，4）或 ， 同理可求得点B的坐标为（4，4）或 ， 由于A，B是抛物线C上的不同两点， 不妨令 ， ∴ ， ， ∴|AD|≠|BD|，这与|AD|= |BD|矛盾， ∴经过A，B两点且与l 1 ，l 2 都相切的圆不存在。