Question

已知数列{an}的首项为a1=1，其前n项和为sn，且对任意正整数n有：n、an、Sn成等差数列．（1）求证：数列{S

已知数列{an}的首项为a1=1，其前n项和为sn，且对任意正整数n有：n、an、Sn成等差数列．（1）求证：数列{Sn+n+2}成等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）证明：∵n、a_n、S_n成等差数列
∴2a_n=n+S_n，
∴2（S_n-S_n-1）=n+S_n，
∴S_n+n+2=2[S_n-1+（n-1）+2]
∴

Sn+n+2

Sn?1+(n?1)+2

＝2
∴{S_n+n+2}成等比数列
（2）解：由（1）知{S_n+n+2}是以S₁+3=a₁+3=4为首项，2为公比的等比数列
∴Sn+n+2＝4?2n?1＝2n+1
又2a_n=n+S_n，∴2

a

n

+2＝2n+1
∴an＝2n?1