Question

某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需再增加成本0.25万元，市场对此产品的年需求量为

某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需再增加成本0.25万元，市场对此产品的年需求量为500件，年销售收入（单位：万元）为R（t）=5t-t22（0≤t≤5），其中t为产品售出的数量（单位：百件）．（1）把年利润表示为年产量x（百件）（x≥0）的函数f（x）；（2）当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润？

Answer 1

（1）当0≤x≤5时，f（x）=R（x）-0.5-0.25x
=-

1

2

x²+4.75x-0.5；当x＞5时，
f（x）=R（5）-0.5-0.25x=12-0.25x，
故所求函数解析式为f(x)＝

? 1 2 x2+4.75x?0.5     (0≤x≤5) 12?0.25x                   (x＞5)

．
（2）0≤x≤5时，f（x）=-

1

2

（x-4.75）²+10.78125，
∴在x=4.75时，
f（x）有最大值10.78125，当x＞5时，
f（x）=12-0.25x＜12-0.25×5
=10.75＜10.78125，
综上所述，当x=4.75时，f（x）有最大值，即当年产量为475件时，公司可获得最大年利润．