Question

已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．（1）若l1与圆相切，求l1的方程；（2）若l1与圆

已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．（1）若l1与圆相切，求l1的方程；（2）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM?AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）①若直线l₁的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．（2分）
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即

|3k?4?k|

k2+1

＝2解之得 k＝

3

4

．
所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0
由

x+2y+2＝0 kx?y?k＝0

得 N(

2k?2

2k+1

，?

3k

2k+1

)；
又直线CM与l₁垂直，

y＝kx?k y?4＝? 1 k (x?3)

得 M(

k2+4k+3

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)．
∴AM?AN=

2 |2k+1|

1+k2

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