Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n2+4n（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若b1=3，且bn+1-bn=an（n∈N

已知数列{an}的前n项和Sn=n2+4n（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若b1=3，且bn+1-bn=an（n∈N*），求数列{1bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=1²+4=5，
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3，
综上a_n=2n+3，（n∈N^*）；
（2）∵b_n+1-b_n=a_n=2n+3，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=3+5+7+…+（2n+1）=

3+2n+1

2

×n=n（n+2），
由（1）得：

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

?

1

4

+…+

1

n?1

?

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

?

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

?

2n+3

2(n+1)(n+2)

，n∈N^*）．