Question

已知函数f(x)＝x1+x （1）求f(x)+f(1x)的值；（2）判断f（x）在区间（-1，+∞）上的单调性，并用定义证明

已知函数f(x)＝x1+x （1）求f(x)+f(1x)的值；（2）判断f（x）在区间（-1，+∞）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

（1）∵f(x)＝

x

1+x

∴f(x)+f(

1

x

)=

x

1+x

+

1 x

1+ 1 x

=1；
（2）f（x）在区间（-1，+∞）上的单调递增，证明如下：
 设-1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1?x2

(1+x1)(1+x2)

∵-1＜x₁＜x₂，∴

x1?x2

(1+x1)(1+x2)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在区间（-1，+∞）上的单调递增．