Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC＝sinA+sinBcosA+cosB．（1）求角C的大小；（2）若△ABC

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC＝sinA+sinBcosA+cosB．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．

Answer 1

（1）在△ABC中，∵tanC＝

sinA+sinB

cosA+cosB

，∴

sinC

cosC

=

sinA+sinB

cosA+cosB

，
化简可得 sinCcosA-cosCsinA=sinBcosC-cosBsinC，即 sin（C-A）=sin（B-C）．
∴C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=

π

3

．
（2）由于C=

π

3

，设A=

π

3

+α，B=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，
由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，
∴a²+b²=sin²A+sin²B=

1?cos2A

2

+

1?cos2B

2

=1-

1

2

[cos（

2π

3

+2α）+cos（

2π

3

-2α）]
=1+

1

2

cos2α．
由-

2π

3

＜2α＜

2π

3

，可得-

1

2

＜cos2α≤1，∴

3

4

＜1+

1

2

cos2α≤

3

2

，即a²+b²的取值范围为 （

3

4

，

3

2

]．