巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当A
巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x...
巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根．（1）求实数m的值；（2）证明：CD的长度是无理方程2x?1-x=1的一个根；（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．
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（1）解：∵AD、AE是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根，则有：
AD+AE=m-1，AD?AE=m-2；
又∵AD2+AE2=5，即（AD+AE）2-2AD?AE=5；
∴（m-1）2-2（m-2）=5，即m2-4m=0；
∴m1=4，m2=0；
∵m≠0，
∴m=4．
（2）证明：将m=4代入方程x2-（m-1）x+m-2=0中，得x2-3x+2=0，
解之得：x1=2，x2=1；
而AD、AE为此方程的两根，且AD＞AE．
∴AD=2，AE=1
∵AD为⊙O的切线，AB为割线．
由切割线定理，得AD2=AE?AB．
即22=1?AB；
∴AB=4．
∵∠B=90°，
∴BC为⊙O的切线．
而CD也为⊙O的切线，
因此CD=CB．
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即42+DC2=（2+CD）2，
∴CD=3．
将CD=3作为x的值代入无理方程2
-x=1中，得：左边=右边；
∴CD的长是无理方程2
-x=1的一个根．
（3）解：过D作DF⊥AB于F，
∴CB⊥BA，
∴△AFD∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
∴DF=
，
又∵
＝
，
∴AF=
，
∴BF=4-AF=
．
∴以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有：
A（-4，0），B（0，0），D（-
，
），
∵过A、B、D三点的抛物线的对称轴平行于y轴．
设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则有：
AD+AE=m-1，AD?AE=m-2；
又∵AD2+AE2=5，即（AD+AE）2-2AD?AE=5；
∴（m-1）2-2（m-2）=5，即m2-4m=0；
∴m1=4，m2=0；
∵m≠0，
∴m=4．
（2）证明：将m=4代入方程x2-（m-1）x+m-2=0中，得x2-3x+2=0，
解之得：x1=2，x2=1；
而AD、AE为此方程的两根，且AD＞AE．
∴AD=2，AE=1
∵AD为⊙O的切线，AB为割线．
由切割线定理，得AD2=AE?AB．
即22=1?AB；
∴AB=4．
∵∠B=90°，
∴BC为⊙O的切线．
而CD也为⊙O的切线，
因此CD=CB．
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即42+DC2=（2+CD）2，
∴CD=3．
将CD=3作为x的值代入无理方程2
| x?1 |
∴CD的长是无理方程2
| x?1 |
（3）解：过D作DF⊥AB于F，
∴CB⊥BA，
∴△AFD∽△ABC，
∴
| DF |
| BC |
| AD |
| AC |
∴
| DF |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
∴DF=
| 6 |
| 5 |
又∵
| AF |
| AB |
| AD |
| AC |
∴AF=
| 8 |
| 5 |
∴BF=4-AF=
| 12 |
| 5 |
∴以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有：
A（-4，0），B（0，0），D（-
| 12 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
∵过A、B、D三点的抛物线的对称轴平行于y轴．
设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则有：
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