Question

如图，已知直线l及其两侧两点A、B．（1）在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；（2）在直线l上求

如图，已知直线l及其两侧两点A、B．（1）在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；（2）在直线l上求一点P，使PA=PB；（3）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．

Answer 1

（1）连接AB，线段AB交直线l于点O， ∵点A、O、B在一条直线上， ∴O点即为所求点； （2）连接AB， 分别以A、B两点为圆心，以任意长为半径作圆，两圆相交于C、D两点，连接CD与直线l相交于P点， 连接BD、AD、BP、AP、BC、AC， ∵BD=AD=BC=AC， ∴△BCD≌△ACD， ∴∠BED=∠AED=90°， ∴CD是线段AB的垂直平分线， ∵P是CD上的点， ∴PA=PB； （3）作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ， ∵B与B′两点关于直线l对称， ∴BD=B′D，DQ=DQ，∠BDQ=∠B′DQ， ∴△BDQ≌△B′DQ， ∴∠BQD=∠B′QD，即直线l平分∠AQB．