如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF= ∠CAB.

如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.(Ⅰ)求证:直线BF是⊙O的切线;(Ⅱ)若AB=5... 如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF= ∠CAB. (Ⅰ)求证:直线BF是⊙O的切线;(Ⅱ)若AB=5,sin∠CBF= ,求BC和BF的长. 展开
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蔡恺0iL
推荐于2016-09-25 · 超过71用户采纳过TA的回答
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(Ⅰ)证明:连接AE.
∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°.        
∴∠EAB+∠ABE=90°.
∵ AB="AC" , ∴∠EAB= ∠CAB .          
∵∠CBF= ∠CAB , ∴∠EAB =∠CBF,     
∴ ∠CBF+∠ABE=90°,即∠ABF==90°.
∵AB是⊙O的直径,∴ 直线BF是⊙O的切线.
(Ⅱ)解:过点C作CG⊥AB于点G .
∵sin∠CBF= ,∠EAB =∠CBF,  ∴sin∠EAB=
∵∠AEB=90°,AB=5,∴BE= AB·sin∠EAB=
∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC="2" BE=2 .  
在Rt△ABE中,AE= =2 .
∴ sin∠ABE= ,cos∠ABE= .
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB="2" ,∴ AG="3" .
∵CG∥BF,∴△AGC∽△ABF,          
∴  ,∴BF= = .      

(I)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABF=90°.
(II)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA,利用比例式求得线段的长即可.
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