Question

如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．（1）求证

如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．

Answer 1

（1）证明：∵AE⊥BC， ∴∠AMB=90°， ∵CN⊥AD， ∴∠CNA=90°． 又∵BC∥AD， ∴∠BCN=90°． ∴AE∥CF， 又由平行得∠ADE=∠CBD， 又AD=BC， ∴△ADE≌△BCF， ∴AE=CF， ∴四边形AECF为平行四边形； （2）解：当AECF为菱形时，连结AC交BF于点O， 则AC与EF互相垂直平分， 又BO=OD， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC． ∵M是BC的中点，AM⊥BC， ∴△ABM≌△CAM， ∴AB=AC，△ABC为等边三角形， ∠ABC=60°，∠CBD=30°． 在Rt△BCF中， CF：BC=tan∠CBF= ， 又AE= CF，AB=BC， ∴AB：AE= ．