Question

△ABC中，AD平分∠BAC，BE垂直AD交AD延长线于点E，M为BC中点，连接ME．（1）求证：∠BAC=2∠AEM；（2）连

△ABC中，AD平分∠BAC，BE垂直AD交AD延长线于点E，M为BC中点，连接ME．（1）求证：∠BAC=2∠AEM；（2）连接AM并延长交BE于N，连接DN，若AB=2AC．探究ME与DN的数量关系，并证明．

Answer 1

（1）证明：如图，延长AC、BE相交于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
在△ABE和△AFE中，

∠BAE＝∠FAE AE＝AE ∠AEB＝∠AEF＝90°

，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴BE=EF，AB=AF，
∵M为BC中点，
∴ME是△BCF的中位线，
∴ME∥AF，ME=

1

2

CF，
∴∠AEM=∠FAE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠FAE，
∴∠BAC=2∠AEM；

（2）解：4ME=3DN．
理由如下：∵AB=2AC，AB=AF，
∴AC=AF，
由ME∥AF得，△MNE∽△ANF，
∴

NE

NF

=

ME

AF

=

ME

2CF

=

ME

2?2ME

=

1

4

，
∴AB=AF=4ME，NE=4NF，
∴BE=EF=3NE，
∵ME∥AF，
∴

DE

AD

=

ME

AC

=

1

2

，
∴

DE

AD

=

NE

BN

=

1

2

，
∴DN∥AB，
∴

DN

AB

=

NE

BE

=

1

3

，
∴AB=3DN，
∴4ME=3DN．