Question

已知函数f(x)＝?x2+2ax， x≤1ax+1， x＞1，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的

已知函数f(x)＝?x2+2ax， x≤1ax+1， x＞1，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则说明f（x）在R上不单调．
①当a=0时，f（x）=

?x2，x≤1 1，x＞1

满足题意
其其图象如图所示，满足题意

②当a＜0时，函数y=-x²+2ax的对称轴x=a＜0，其图象如图所示，满足题意

③当a＞0时，函数y=-x²+ax的对称轴x=a＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调

则只要二次函数的对称轴x=a＜1，或

a≥1 ?12+2a×1＞a×1+1

∴0＜a＜1或a＞2，
综合得：a的取值范围是（-∞，1）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，1）∪（2，+∞）．