Question

（2014?红桥区二模）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的

（2014?红桥区二模）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为23．（I）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，试证明：无论直线AP绕点A如何转动，以BD为直径的圆总与直线PF相切．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由题意设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，F（c，0）．
由题意知

a2=b2+c2 ab=2 3 a=2

，
解得a=2，b=

3

，c=1． …..3分
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，离心率为

1

2

．…5分
（Ⅱ）证明：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．…6分
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．…7分
由

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．…8分
设点P的坐标为（x₀，y₀），则-2x0=

16k2-12

3+4k2

．
所以