已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．（Ⅰ）求f（π12）的值；（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x
已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．（Ⅰ）求f（π12）的值；（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的单调区间．...
已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．（Ⅰ）求f（π12）的值；（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的单调区间．
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（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=
sin(x+
)，
∴f(
)＝
sin(
+
)＝
sin
＝
；
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面给出证明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=
cos(x+
)，
由2kπ+π＜x+
＜2kπ+2π，得2kπ+
＜x＜2kπ+
，
∴g（x）的单调递增区间为(2kπ+
，2kπ+
)，k∈Z．
又由2kπ＜x+
＜2kπ+π，得2kπ?
＜x＜2kπ+
，
∴g（x）的单调递减区间为(2kπ?
，2kπ+
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f(
| π |
| 12 |
| 2 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面给出证明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=
| 2 |
| π |
| 4 |
由2kπ+π＜x+
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
∴g（x）的单调递增区间为(2kπ+
| 3π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
又由2kπ＜x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴g（x）的单调递减区间为(2kπ?
| π |
| 4 |
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